Identités remarquables
… la bête noire des écoliers …
Ce sont simplement trois formules qui permettent de gagner du temps dans les calculs (entre autres) … si on les remarque … d’où le nom « remarquables » …
Le problème du petit collégien qui n’aime pas les maths, c’est qu’il a bien du mal à les remarquer…
Et autant il est facile de trouver des façons de faire comprendre ceci ou cela en maths, cette fois, avouons-le, je suis bien embêté : soit vous voyez, soit vous ne voyez pas. Eventuellement en en faisant pas mal. J’ai un doute… Après des années, ma femme continue à râler car (malgré ma bonne volonté) je n’arrive toujours pas à voir ce qu’il y a à ranger dans la maison…
Essayons quand même…
Voici les 3 affreuses (en fait il y en a plus que 3, mais les autres c’est pour les niveaux au-dessus de nous, bien fait pour eux) :
- (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a-b)2 = a2 – 2ab + b2
- (a+b) (a-b) = a2 – b2
DEVELOPPEMENT
Exemple à ne pas suivre : ma fille.
Elle s’obstine lorsqu’elle se retrouve avec (a+b)2 à trouver a2 + b2. Elle oublie les « 2ab ». Comme elle est assez taquin, je pense qu’elle le fait exprès. Si vous pouviez éviter de le faire exprès aussi ce serait sympa.
Exemples :
| Enoncé | Ce que fait ma fille | Ce que devrait faire ma fille |
| (x + 3)2 = ? | X2 + 32 = x2 + 9 | X2 + 2*3*x + 32 = x2 + 6x + 9 |
| (2x – 5)2 = ? | 2x2 – 52 = 2x2 – 25 | (2x)2 – 2*2x*5 + 52 = 4x2 -20x +25 |
| (3x + 4) (3x – 4) = ? | RIEN (un test de paternité s’impose) | (3x)2 – (4)2 = 9x2 – 16 |
- A vous :
| Expression | Identité(s) à utiliser | Votre résultat final (détaillez sur un brouillon) |
| (x+3)2 | ||
| (5x+2)2 | ||
| (1+x)2 | ||
| (3x-1)2 | ||
| (1-4x)2 | ||
| (x-1/3)2 | ||
| (x-1)(x+1) | ||
| (3x+1)(3x-1) | ||
| (3+x)(3-x) | ||
| (-5-2x)(-5+2x) | ||
| (4-5x)2 | ||
| (1-2x)2 | ||
| (x+1)2 +(x-1)2 | ||
| (2x-1)2 + x(2x+3) | ||
| (x+3)2 – 3(x+1)2 | ||
| x(x+2) – 4(5x-1)2 |
- A ma fille
Non, je rigole…
- A moi
| Expression | Calcul intermédiaire (détaillé mais sans plus) | Mon résultat final (On met d’abord les x2, puis les x puis les nombres seuls) |
| (x+3)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | X2 +6x + 9 |
| (5x+2)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 25x2 + 20x + 4 |
| (1+x)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | X2 + 2X +1 |
| (3x-1)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 9x2 -6x +1 |
| (1-4x)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 16x2 -8x +1 |
| (x-1/3)2 | X*X – 2*x*1/3 + 1/3*1/3 | X2 – 2x/3 +1/9 |
| (x-1)(x+1) | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | X2 -1 |
| (3x+1)(3x-1) | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 9x2 – 1 |
| (3+x)(3-x) | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | -x2 +9 |
| (-5-2x)(-5+2x) | (-5)*(-5) – 2x * 2x | -4x2 + 25 |
| (4-5x)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 25x2 – 40x +16 |
| (1-2x)2 | Pas besoin (pour vous non plus à terme) | 4x2 – 4x +1 |
| (x+1)2 +(x-1)2 | X2 +2X + 1 + X2 -2X +1 | 2X2 + 2 |
| (2x-1)2 + x(2x+3) | 2x2 -4x +1 + 2x2 + 3x | 4x2 – x + 1 |
| (x+3)2 – 3(x+1)2 | X2 + 6x +9 – 3x2 -6x – 3 | -2x2 + 6 |
| x(x+2) – 4(5x-1)2 | X2 + 2X –4(25x2 – 10x +1) = X2 + 2X -100X2 +40X -4 | -99X2 +42X -4 |
Inutile de porter plainte : il n’y a pas d’erreur… Refaites vos calculs…
FACTORISATION
Vous l’aurez compris, avec les identités remarquables, on fait des développements et des factorisations. Lorsque vous faites une factorisation, on l’a dit plus haut, il faut trouver le facteur commun. De temps en temps, vous avez beau chercher dans tous les sens, pas moyen de trouver ce satané facteur commun. Ne cherchez plus : vous avez 99% de chances d’être tombé sur une identité remarquable. L’avantage, c’est que dès lors, vous n’avez plus que 3 cas possibles…
Rappel des 3 cas :
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2ab + b2 | (a+b)2 |
| a2 – 2ab + b2 | (a-b)2 |
| a2 – b2 | (a+b) (a-b) |
- Exemple : x2 + 2x + 1
Je vous laisse chercher une heure et je reviens.
Me revoilà. Eh non ! Pas moyen de « voir » un facteur commun. C’est donc à tous les coups une identité remarquable.
Laquelle ? En gros, la question est : quelle est la formule dans la colonne de gauche qui ressemble le plus à l’exemple ?
Manifestement, c’est la première.
Essayons, en recopiant les valeurs de l’exemple en dessous des lettres de la formule :
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2ab + b2 | (a+b)2 |
| x2 + 2x + 1 | ? |
Oui, bon, ça ressemble, mais ça n’est pas encore ça.
Avez-vous pensé au « 1 » fantôme (quand on ne voit pas comment s’en sortir dans un calcul, c’est que souvent le nombre 1 s’est caché quelque part) ?
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2ab + b2 | (a+b)2 |
| x2 + 2x*1 + 1 | ? |
Ah, c’est mieux ! sauf que b est au carré et que 1 ne l’est pas. Au fait, 12 = 1 non ?
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2ab + b2 | (a+b)2 |
| x2 + 2x*1 + 12 | ? |
Regardez maintenant en dessous ce que ça donne en caractères gras (on voit mieux qui va avec qui de cette façon) :
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2a*b + b2 | (a+b)2 |
| x2 + 2x*1 + 12 | ? |
D’où :
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 + 2a*b + b2 | (a+b)2 |
| x2 + 2x*1 + 12 | (x+1)2 |
Finalement : x2 + 2x + 1 = (x+1)2
- Exemple : 9x2 – 12x + 4
Quelle est la formule dans la colonne de gauche qui ressemble le plus à l’exemple ?
Cette fois, c’est la deuxième.
Essayons, en recopiant les valeurs de l’exemple en dessous des lettres de la formule. Dans chaque tableau, une étape pour avancer vers la résolution :
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 – 2ab + b2 | (a-b)2 |
| 9x2 – 12x + 4 | ? |
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 – 2ab + b2 | (a-b)2 |
| (3x)2 -12x + 22 | ? |
| Identité développée | Identité factorisée |
| a2 – 2 * a * b + b2 | (a-b)2 |
| (3x)2 – 2 * 3x * 2 + 22 | ? |
Et voilà.
Maintenant ce qu’il vous faut, c’est de l’entraînement (et bien ouvrir les yeux)…
