Comment développer une expression algébrique ?

Remarque préliminaire : dans ce qui suit :

x représente la lettre x

* représente le signe multiplié.

En mathématiques, le mot facteur signifie multiplié.

• DEVELOPPEMENT AVEC UN SEUL FACTEUR

Il se peut que dans certains exercices, on vous demande de développer une expression.

Par exemple :

Développer :   3 (2x + 5).

L’expression ci-dessus se lit :

                            3 facteur de 2x plus 5.    3 est le facteur, celui qui multiplie.

Conseil :

1^ère approche :

• Considérez toujours que les parenthèses sont l’équivalent d’un sachet.
• Ainsi : 3 (2x + 5) signifie que vous possédez 3 sachets identiques contenant chacun 2x et 5.
• En tout, vous avez donc :      3* 2x et 3 * 5 c’est à dire 6x et 15
• 3 (2x + 5) est donc égal à 6x + 15.

2^ème approche :

• Comme on lit 3 facteur de 2x plus 5, vous pouvez vous dire aussi que 3 est un facteur distribuant du courrier à 2x puis à 5.
• Cela donne donc de la même manière :       3 * 2x + 3 * 5
• C’est à dire : 6x + 15.

Vous venez de développer, c’est à dire finalement de faire l’inventaire de tout ce qu’il y a dans vos sachets.

Les problèmes pouvant se poser lors d’un développement sont le plus souvent des problèmes de signes.

Il ne faut jamais oublier :

• qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif,
• qu’un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne un nombre négatif.

De la même manière, si on vous demande de développer :

3 (4x –2) + 2 (5x + 6) + 8 (2 – 5x)

L’inventaire donne le résultat suivant :

• 3 sachets contenant 4x et –2            soit 12x – 6
• 2 sachets contenant 5x et 6               soit 10x + 12
• 8 sachets contenant 2 et – 5x             soit 16 – 40x

Vous avez donc finalement :

12x – 6 + 10x + 12 + 16 – 40x

Rassemblez vos « produits » :

12x + 10x – 40x –6 + 12 + 16

soit :    – 18x + 22

Finalement :

3 ( 4x –2) + 2 ( 5x + 6) + 8 ( 2 – 5x) = – 18x + 22

Encore un conseil : n’essayez jamais de tout faire d’une seule traite, procédez par étapes et faites vos calculs en ligne (ne mettez jamais deux fois le signe = sur la même ligne !) :

    3 (4x –2)   + 2 (5x + 6)   +   8 (2 – 5x)                   > je recopie l’énoncé.

= 3*4x – 3*2  + 2*5x + 2*6 +   8*2 – 8*5x                 > j’écris les calculs à effectuer

= 12x   – 6      + 10x   + 12   +   16   – 40x                > j’effectue les calculs

= -18x + 22                                                                > je compte la quantité de chacun de mes « produits ».

• DEVELOPPEMENT AVEC PLUSIEURS FACTEURS

Bien évidemment, on peut compliquer (pour s’amuser) en ayant plusieurs facteurs. Par exemple :

(2x + 5) (3x + 7)

Cela se lit :

• 2x plus 5 facteur de 3x plus 7.

Cela signifie que :

• Vous avez 2x + 5 sachets contenant 3x + 7

Ou encore :

• 2x et 5 sont chacun facteurs de 3x et de 7.

Quelle que soit la manière dont on aborde le problème, on en arrive au développement suivant :

J’ai 2x sachets contenant 3x + 7 et j’ai 5 sachets contenant 3x + 7.

C’est à dire :

• 2x (3x + 7) et 5 (3x + 7).

Dans la pratique, on développe cela de la manière suivante :

•     (2x + 5) (3x + 7)                 > je recopie l’énoncé.

= 2x*3x + 2x*7 + 5*3x + 5*7  > j’écris les calculs à effectuer

=    6x²   +  14x  + 15x   + 35  > j’effectue les calculs (ATTENTION x*x = x² erreur classique ! ! !)

=     6x² +  29x  + 35               > je compte la quantité de chacun de mes « produits ».

A T T E N T I O N Aux erreurs de signes, on ne le dira jamais assez.

A S T U C E : Multipliez le nombre de facteurs de la première parenthèse par le nombre de termes de la seconde, pour savoir combien vous avez de calculs à effectuer et par là-même ne rien oublier.

Exemple :

Je dois développer :   (5x + 4 + 2y) (3x – 2)

                   3 facteurs (5x, 4, 2y) multipliés par 2 termes (3x, -2) = 6 calculs à effectuer.

Exercices de développement :

CORRECTION DES EXERCICES DE DEVELOPPEMENT