Apprendre à résoudre un exercice de partages proportionnels
Lorsque dans un sujet, un exercice ou un pmroblème vous tombez sur un partage proportionnel, il existe plusieurs possibilités :
- Le partage proportionnel simple
- Le partage proportionnel à plusieurs paramètres
- Le partage inversement proportionnel
- Le partage proportionnel et inversement proportionnel
Pour le résoudre, on part toujours du même principe : sur le brouillon, on trace rapidement un tableau avec 3 lignes (quel que soit l’exercice), et 2 colonnes de plus que de partages à effectuer.
Exemple : Une mairie partage une somme de 5000 € entre 3 associations A,B,C, proportionnellement à leur nombre d’adhérents, respectivement 50, 80 et 100. Quelle est la part de chacun ?
Vous devez partager une somme en 3, votre tableau va comporter 3 + 2 colonnes soit 5.
Dans la première case inscrivez le mot « données » (ça n’a l’air de rien, mais ça aide beaucoup pour la compréhension).
| Données | ||||
En dessous du mot données, les valeurs qui vont permettre le partage : Commencez par les valeurs à trouver de préférence : « Somme » à partager ; « Adhérents » des associations. A droite du mot données : le nom de ceux qui reçoivent le partage : Ici, A, B et C.
| Données | A | B | C | |
| Somme | ||||
| Adhérents |
Dernière colonne de la première ligne : « Somme » ou « Différence ». On verra plus loin que cela dépend de l’énoncé. Quand c’est une différence, beaucoup sont bloqués. Ici, c’est une somme, car les 5000 € représentent le total obtenu par les 3 associations.
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | ||||
| Adhérents |
Le mot respectivement signifie : dans l’ordre donné précédemment.
Ceci étant dit, on peut commencer.
1. Le partage proportionnel simple
Exemple 1 : Une mairie partage une somme de 5000 € entre 3 associations A,B,C, proportionnellement à leur nombre d’adhérents, respectivement 50, 80 et 100. Quelle est la part de chacun ?
Le tableau brouillon est donc :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | ||||
| Adhérents |
Plaçons les valeurs connues :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 50+80+100 = 230 |
Ensuite, on fait des produits en croix (pour les plus anciens, on appelait ça la règle de trois) :
Pour trouver Somme de A :
C’est comme si 5000 et 50 étaient reliés à un fil, et que 230 était relié au nombre cherché. L’opération à effectuer est toujours la même :
On multiplie ensemble les nombres reliés entre eux et on divise par celui qui est tout seul :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×50/230 = 1086,96 | 5000 | ||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 50+80+100 = 230 |
Pour trouver Somme de B :
Dessinez encore une croix. On obtient :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×80/230 = 1739,13 | 5000 | ||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 50+80+100 = 230 |
Pour trouver Somme de C :
On obtient :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×100/230 = 2173,91 | 5000 | ||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 50+80+100 = 230 |
Au final :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 1086,96 | 1739,13 | 2173,91 | 5000 |
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 50+80+100 = 230 |
A reçoit : 1086,96 €. B reçoit : 1739,13 € ; C reçoit : 2173,91
On vérifie quand même : la somme totale fait bien 5000 €. Tout va bien.
Facile non ?
Exemple 2 : Une mairie partage une somme entre 3 associations A,B,C, proportionnellement à leur nombre d’adhérents, respectivement 50, 80 et 100. La troisième reçoit 500 € de plus que la seconde. Quelle est la part de chacun ?
Faisons le tableau :
| Données | A | B | C | |
| Somme | ||||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 |
Et zut, on ne me donne pas le total des 3. Bloqué !
Réfléchissons : Si la 3ème reçoit plus que la 2ème, c’est parce qu’elle a plus d’adhérents : Il y a une différence de 500 € parce qu’il y a une différence de 20 adhérents !
Dans la dernière on n’inscrit pas « somme », on inscrit « différence » (notez le toujours même le jour d’un examen, car avec le stress, on perd vite les pédales).
Ainsi le tableau devient :
| Données | A | B | C | Différence |
| Somme | 500 | |||
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 100-80 = 20 |
On refait nos petites croix, et les calculs et les résultats deviennent :
| Données | A | B | C | Différence |
| Somme | 500×50/20 = 1250 | 500×80/20 = 2000 | 500×100/20 = 2500 | 500 |
| Adhérents | 50 | 80 | 100 | 100-80 = 20 |
On vérifie : cool, tout va bien, C a bien 500 € de plus que B.
Dans le cas d’un partage proportionnel simple, il ne peut rien vous arriver de plus compliqué.
2. Le partage proportionnel à plusieurs paramètres
Exemple 1 : Une mairie partage une somme de 5000 € entre 3 associations A,B,C, proportionnellement à leur nombre d’adhérents, respectivement 50, 80 et 100 et à leur ancienneté de création soit 10 ans, 5 ans, 15 ans. Quelle est la part de chacun ?
Cette fois le partage se fait par rapport aux adhérents et à l’ancienneté.
Le tableau devient donc :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | ||||
Adhérents & Ancienneté |
Que faire ? lorsque vous écrivez vous-même le sigle « & », en réalité vous faites l’équivalent d’une petite croix, comme le signe x (si, si essayez sur une feuille, ça ressemble au signe x).
Faites une multiplication !
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | ||||
Adhérents & Ancienneté | 50 X 10 = 500 | 80 X 5 = 400 | 100 X 15 = 1500 |
Cela devient :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
Adhérents & Ancienneté | 50 X 10 = 500 | 80 X 5 = 400 | 100 X 15 = 1500 | 500+400+1500 = 2400 |
On fait nos croix du produit en croix :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×500/2400 = 1041,67 | 5000×400/2400 = 833,33 | 5000×1500/2400 = 3125 | 5000 |
Adhérents & Ancienneté | 50 X 10 = 500 | 80 X 5 = 400 | 100 X 15 = 1500 | 500+400+1500 = 2400 |
On vérifie. Ouf, le total est bien de 5000 €.
Exemple 2 : Une mairie partage une somme entre 3 associations A,B,C, proportionnellement à leur nombre d’adhérents, respectivement 50, 80 et 100 et à leur ancienneté de création soit 10 ans, 5 ans, 15 ans. Quelle est la part de chacun, sachant que A et B ont reçu en tout 4000 € ?
Attention, dans cet exemple, la dernière colonne représente bien une somme, mais seulement la somme de A et B ! Le tableau devient :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 4000 | |||
Adhérents & Ancienneté | 50 X 10 = 500 | 80 X 5 = 400 | 100 X 15 = 1500 |
500+400= 900 |
Et hop ! les produits en croix :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 4000×500/900 = 2222,22 | 4000×400/900 = 1777,78 | 4000×1500/900 = 6666,67 | 4000 |
Adhérents & Ancienneté | 50 X 10 = 500 | 80 X 5 = 400 | 100 X 15 = 1500 |
500+400= 900 |
Tout va bien, A et B ont bien reçu en tout 4000 €.
3. Le partage inversement proportionnel
Ouille. Ca doit être compliqué. Un tout petit peu, oui. Mais on va simplifier. Vous devez être capable pour cela de mettre des fractions au même dénominateur.
Petit rappel (faisons simple) : soient les fractions 1/2 ; 1/3 ; 1/5. Pour mettre les fractions au même dénominateur, multipliez le numérateur (la valeur du haut) et le dénominateur (valeur du bas) de l’une par les dénominateurs des autres (ne cherchez pas à trouver le dénominateur le plus petit, à simplifier les fractions, de une vous n’avez pas le temps le jour du concours, de deux, ça ne sert plus à rien, le prof faisait ça à l’école pour repérer les matheux des non matheux – j’exagère un peu, mais à peine – et on n’est plus à l’école, de trois, vous n’avez pas à détailler ce genre de calculs).
Revenons à nos moutons : Je multiplie le numérateur et le dénominateur de chacune par le dénominateur des autres :
| Au départ | 1/2 | 1/3 | 1/5 |
| Calcul | 1x3×5/2x3×5 | 1x2×5/3x2×5 | 1x2×3/5x2×3 |
| A l’arrivée | 15/30 | 10/30 | 6/30 |
Essayez avec d’autres exemples pour prendre le coup. Pour vérifier si vous avez bon ce n’est pas difficile : calculez la fraction de départ à la calculatrice ; idem avec la fraction d’arrivée. Vos résultats doivent être identiques.
1/2 = 0,5 et 15/30 = 0,5 ; 1/3 = 0,33333 et 10/30 = 0,33333 ; 1/5 = 0,2 et 6/30 = 0,2.
Exemple 1 : Afin de favoriser les associations les plus jeunes, une mairie décide d’octroyer une subvention de 5000 € à partager entre 3 associations inversement proportionnellement (c’est dur à dire) à leurs anciennetés respectives soit 10 ans, 5 ans, 20 ans. Quelle est la part de chacune ?
Comme d’habitude, on crée notre tableau :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
| Ancienneté |
Dans ancienneté, on met les valeurs, mais inversées : 1/10 ; 1/5 ; 1/20
On les met au même dénominateur (faites-le avant de lire en dessous) :
1/10 devient 100/1000 ; 1/5 devient 200/1000 ; 1/20 devient 50/1000.
C’est bien beau mais maintenant on fait quoi ?
Inutile de faire un cours de maths avec des démonstrations : vous mettez dans le tableau uniquement les numérateurs.
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
| Ancienneté | 100 | 200 | 50 |
Cela signifie pour résumer que ce qui est inversement proportionnel à 10, 5 et 20 est en réalité proportionnel à 100, 200 et 50.
Et hop ! produits en croix :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×100/350 = 1428,57 | 5000×200/350 = 2857,14 | 5000×50/350 = 714,29 | 5000 |
| Ancienneté | 100 | 200 | 50 | 350 |
Au fait, vous avez vérifié que A+B+C était égal au total ?
Remarquez au passage : La 3ème reçoit la moitié de la 1er. N’avait-elle pas deux fois plus d’ancienneté ?
La seconde reçoit le double de la 1ère. Ah oui, elle avait la moitié d’ancienneté.
Exemple 2 : Afin de favoriser les associations les plus jeunes, une mairie décide d’octroyer une subvention à partager entre 3 associations inversement proportionnellement (c’est toujours aussi dur à dire) à leurs anciennetés respectives soit 10 ans, 5 ans, 20 ans. Quelle est la part de chacune, sachant que la 2ème reçoit 1000 € de plus que la 3ème ?
Faites le, sans regarder en dessous.
Vous devriez trouver :
| Données | A | B | C | Différence |
| Somme | 1000×100/150 = 666,67 | 1000×200/150 = 1333,33 | 1000×50/150 = 333,33 | 1000 |
| Ancienneté | 100 | 200 | 50 | 200-50 = 150 |
Vous avez vérifié ?
4. Le partage proportionnel et inversement proportionnel
Eh bien, on mélange simplement b) et c) du cours. On met au numérateur ce qui est proportionnel, et au dénominateur ce qui est inversement proportionnel.
Exemple 1 : Afin de favoriser les associations les plus jeunes, une mairie décide d’octroyer une subvention de 5000 € à partager entre 3 associations inversement proportionnellement à leurs anciennetés respectives soit 10 ans, 5 ans, 20 ans mais proportionnellement à leur nombre d’adhérents respectifs soit 50, 80 et 100. Quelle est la part de chacune ?
Tableau :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
Adhérents & Ancienneté | 50/10 | 80/5 | 100/20 |
On met tout au même dénominateur :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000 | |||
Adhérents & Ancienneté | 50/10 Devient 5000/1000 | 80/5 Devient 16000/1000 | 100/20 Devient 5000/1000 |
Ben oui, je ne l’ai pas fait exprès, il y a deux fractions identiques, c’est comme ça. Dans certains sujets, vous verrez, les résultats sont plus étonnants encore.
En plus les valeurs sont grandes, ça fait bizarre. On ne pourrait pas les simplifier un peu, ces fractions ? Si, si vous voulez, si vous avez du temps à perdre, allez-y, j’aurai fini avant vous.
On garde les numérateurs, et on calcule :
| Données | A | B | C | Somme |
| Somme | 5000×5000/26000 = 961,54 | 5000×16000/26000 = 3076,92 | 5000×5000/26000 = 961,54 | 5000 |
Adhérents & Ancienneté |
5000 |
16000 |
5000 |
26000 |
Je sais, je sais, vous avez vérifié avant que je vous le dise.
C’est que vous êtes prêt(e) à faire tout seul l’exemple 2 :
Exemple 2 : Afin de favoriser les associations les plus jeunes, une mairie décide d’octroyer une subvention à partager entre 3 associations inversement proportionnellement à leurs anciennetés respectives soit 10 ans, 5 ans, 20 ans mais proportionnellement à leur nombre d’adhérents respectifs soit 70, 80 et 100. Il y a 300€ de différence entre la 1ère et la 2ème. Quelle est la part de chacune ?
| Données | A | B | C | Différence |
| Somme | 233,33 | 533,33 | 166,67 | 300 |
Adhérents & Ancienneté |
7000 |
16000 |
5000 |
9000 |
Et bien entendu : 533,33-233,33 = 300
Et voilà, vous savez tout sur les partages proportionnels. Les exemples ci-dessus n’ont plus qu’à s’appliquer à tout ce qui vous tombe dessus.
Remarque finale : il arrive dans certains sujets que l’on vous dise « …………… sont entre eux comme les nombres 3 et 2 » ou « Au prorata de 3 et 2 ». Cela signifie : « ………………… sont proportionnels à 3 et 2 ».
Allez, un petit dernier pour la route :
Soit un Rectangle avec L sa longueur et l sa largeur qui sont respectivement inversement proportionnels à 2 et à 3, et sa largeur mesure 20 m de moins que sa longueur. Retrouver L et l.
Essayez, et n’ayez pas peur, ce n’est pas parce qu’il est écrit rectangle que ça veut dire géométrie, nausées et maux de tête.
La réponse ?
Appliquons ce que l’on vient d’apprendre. Le partage se fait entre Longueur et largeur. Il faut donc un tableau avec 2 + 2 colonnes. 3lignes (comme d’habitude). C’est inversement proportionnel, donc : 1/2 et 1/3 soit au même dénominateur : 3/6 et 2/6. On garde donc les numérateurs : 3 et 2. L’un mesure 20m de plus que l’autre. Il y a donc une différence entre les deux.
Tableau :
| Données | Longueur | Largeur | Différence |
| Mesures | 3×20/1 = 60 m | 2×20/1 = 40 m | 20 |
| Nombres | 3 | 2 | 3-2 = 1 |
Et voilà …
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