Les débits en mathématiques – Baignoires et robinets qui fuient…

Les débits en mathématiques - baignoires et robinets qui fuient

Ne vous fiez  pas au calme de l’image, vous allez galérer 😂

Ce cours n’est pas à proprement parler dans un programme. Pourtant on peut avoir des exercices dessus.

C’est prise de tête, galère. Certains peuvent avoir des envies de meurtre à mon égard, c’est à cause de ce cours que je ne donne pas mes coordonnées. Les robinets déversent, les trop pleins débordent, il y a de l’eau partout et on n’en finit pas d’éponger.

Bon courage… (mettez une petite musique classique en même temps, ça va vous détendre)…

 

 

  • Savoir calculer une quantité en fonction du débit et du temps

 

Un nettoyeur haute pression possède les caractéristiques suivantes :

          Homologué CE. 2 200 W. Pression de service réglable de 10 à 120 bars. Puissance hydraulique : 1,53 kW. Débit : 500 l / h. Commande marche-arrêt à la poignée. Réglage de la pression à la lance.

Réf : 0522 792 D. Prix : 249 €.

Retenons une des caractéristiques : débit : 500 l  / h.

 

Cela signifie que le nettoyeur peut « envoyer » 500 litres d’eau en une heure.

 

          Quelle quantité peut-il envoyer en 2 heures ?

 

                      En deux heures, il débite 2 x 500 litres soit 1 000 litres.

 

          Quelle quantité peut-il débiter en 0,5 heures ?

 

                      En 0,5 heures, il débite 0,5 x 500 litres soit 250 litres.

 

          On s’aperçoit que pour calculer la quantité qu’un nettoyeur haute pression débite en un temps donné, on multiplie le temps par le débit de l’appareil.

 

          C’est à dire :

 

Quantité = Temps x Débit

 

Appelons Q la quantité, T le temps et D le débit :

La quantité débitée par un appareil en un temps donné est :

 

Q = T x D

 

On remarquera que dans l’exemple précédent : Q est en litres, T est en heures, et D est litres / heure.

            Ce qui revient à dire que dans un exercice sur des débits, il ne faut pas oublier de mettre les données dans les unités adéquates : Si D est en litres / minute, Q doit être en litres et T doit être en minutes !

 

 

 

EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

Quelle est la quantité débitée en 3 heures par un nettoyeur haute-pression dont le débit est de 400l/h ?

 

  • Exercice N° 2 :

Quelle est la quantité débitée en 45 minutes par un nettoyeur haute pression dont le débit est de 140l/h ?

 

  • Exercice N° 3 :

Quelle est la quantité débitée par une pompe à eau en 20 min si son débit est de 3,5 m3 / heure ? (on arrondira le résultat au centième).

 

  • Exercice N° 4 :

Une pompe à eau fonctionne durant 15 min. Son débit est de 1,5 m3 / heure. Combien a-t-elle débité ? On donnera le résultat en litres.

 

  • Exercice N° 5 :

Je fais fonctionner un compresseur à air dont le débit est de 13,8 m3 / heure pendant 18 min. Combien de litres d’air ai-je utilisé ?

 

  • Exercice N° 6 :

Un chauffe-eau a gaz dont le débit est de 26 l / min a été utilisé durant 3 h 20 min sur le mois. Quelle a été la quantité d’eau chaude produite (en m3) ?

 

CORRECTION

 

  • Exercice N° 1 :

La quantité est : 3 x 400 soit 1 200 litres

 

  • Exercice N° 2 :

45 min = 0,75 heure

La quantité est : 0,75 x 140  soit 105  litres

 

  • Exercice N° 3 :

20 min = 1/3 d’heure

La quantité est : 1/3 x 3,5 soit 1,17 m3

 

  • Exercice N° 4 :

15 min = 0,25 heure ; 1,5 m3 = 1 500 l

La quantité est : 0,25 x 1 500  soit 375  litres

 

  • Exercice N° 5 :

18 min = 18/60 heure ; 13,8 m3 = 13 800 litres

La quantité est : 18/60 x 13 800  soit 4 140  litres

 

  • Exercice N° 6 :

3 h 20 min = 200 min

La quantité est : 200 x 26  soit 5 200 litres soit 5,2 m3

!

  • Savoir calculer un temps en fonction du débit et de la quantité

 

Afin de nettoyer ma citerne, qui contient 6 m3 d’eau, j’utilise une pompe vide-cave dont le débit est de 12 m3/ h, et ce afin de pouvoir la vider. Au bout de combien de temps celle-ci sera-t-elle vide ?

 

          Afin de résoudre cet exercice, je fais :

Temps = Quantité / Débit

6 / 12 = 0,5 heure soit 30 min.

          On s’aperçoit que pour calculer le temps que met une pompe pour vider une cave on divise la quantité d’eau à vider par le débit de la pompe.

 

          C’est à dire :

Appelons Q la quantité, T le temps et D le débit :

Le temps mis par un appareil pour débiter une quantité donnée est :

T = Q/D

On remarquera de la même manière que précédemment : Q est en m3, T est en heures, et D est m3 / heure.

 

            Ce qui revient encore à dire que dans un exercice sur des débits, il ne faut pas oublier de mettre les données dans les unités adéquates : Si D est en litres / minute, Q doit être en litres et T doit être en minutes !

EXERCICES

Exercice N° 1 :

Combien de temps (en minutes) met-on pour remplir une piscine de 700 l avec une pompe qui débite 4 m3 par heure ?

Exercice N° 2 :

Combien de temps faut-il pour vider une cuve qui contient 5 m3 d’eau avec une pompe débitant 2m3 par heure ?

Exercice N° 3 :

Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de 400 l avec un robinet qui débite 25 l / min ?

Exercice N° 4 :

Combien de temps faut-il pour vider une baignoire de 300 l, si l’eau « s’échappe » à raison de 4 l / min ?

Exercice N° 5 :

Combien de temps faut-il pour remplir un seau de 8 litres avec un robinet  qui fuit au goutte à goutte à raison de 20 cl par heure ?

CORRECTION DES EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

700 l = 0,7 m3

T = 0,7 / 4 = 0,175 heure soit 10,5 min soit 10 minutes et 30 secondes

  • Exercice N° 2 :

Il faut 2/5 heure = 0,4 heure soit 24 minutes

  • Exercice N° 3 :

Il faut 400 / 25  minutes soit 16 minutes

  • Exercice N° 4 :

Il faut 300 / 4  minutes soit 75 minutes soit 1 H 15 min

  • Exercice N° 5 :

20 cl = 0,2 litre

Il faut 8 / 0,2 = 40 heures

 

  • Savoir résoudre des problèmes utilisant les débits

Il existe une multitude de problèmes utilisant les débits.

            Ces problèmes font intervenir des notions (que vous devez maîtriser) aussi diverses que :

                        Les fractions,

                                    les conversions,

                                               les durées,

                                                           les longueurs,

                                                                       les surfaces,

                                                                                   les volumes,

                                                                                               les capacités, …

 

            Quel que soit le problème qui se pose à vous, posez-vous les questions suivantes :

                        – Que me donne-t-on dans l’énoncé ?

                        – Que dois-je chercher ?

                        – Que vais-je utiliser ?

 

Par exemple, si on reprend le tout premier exercice, l’énoncé est :

Quelle est la quantité débitée en 3 heures par un nettoyeur haute-pression dont le débit est de 400 l / h ?

                        – Que me donne-t-on dans l’énoncé ?          T = 3 heures ; D = 400 l / h

 

                        – Que dois-je chercher ?                               Q

 

                        – Que vais-je utiliser ?                                  Q = T x D

 

            « il suffit » ensuite de remplacer les valeurs que l’on me donne, pour les remplacer dans la formule que je vais utiliser pour trouver ce que je cherche.

           

Tout n’est cependant pas si simple, car très souvent les problèmes sont des problèmes à tiroir : pour trouver ce que l’on me demande, je dois auparavant trouver autre chose (que l’on ne me demande pas), mais avant il me trouver autre chose (que l’on ne me demande pas non plus), etc etc etc

           

C’est pourquoi, il me faut bien étudier le problème dans son ensemble, éventuellement faire un schéma, imaginer ce qui se passe dans la réalité : si on me parle d’une cuve, je la dessine, je pense à celle que j’ai chez moi, …

 

            Les problèmes qui suivent ne sont que quelques exemples. Attention : les situations sont souvent différentes les unes des autres, à vous de savoir vous adapter.

EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

Combien de temps met une pompe dont le débit est de 5 m3/h pour vider les 3/4 d’une citerne cubique de 4 m d’arête ?

  • Exercice N° 2 :

Je désire remplir aux 2/3 une piscine de 1,50 m de diamètre et 50 cm de hauteur à l’aide d’un tuyau d’arrosage dont le débit est de 20 l / min. Combien de temps cela prendra-t-il ? On arrondira le résultat à la minute supérieure.

  • Exercice N° 3 :

Je dispose d’une pompe à eau pour mon aquarium dont le débit est de 20 l / h. Quel est le temps théoriquement nécessaire pour que la pompe ait filtré la totalité de l’eau si mon aquarium a les dimensions suivantes : Longueur : 1,2 m ; Profondeur : 45 cm ; Hauteur : 50 cm ?

CORRECTIONS

  • Exercice N° 1 :

Combien de temps met une pompe dont le débit est de 5 m3/h pour vider les 3/4 d’une citerne cubique de 4 m d’arête ?

La citerne a un volume de : 4 x 4 x 4 = 64 m3.

J’en vide les ¾ soit 64 x ¾ = 48 m3.

Il faut donc : 48 / 5 = 9,6 heures soit 9 heures et 36 minutes pour la vider.

  • Exercice N° 2 :

Je désire remplir aux 2/3 une piscine de 1,50 m de diamètre et 50 cm de hauteur à l’aide d’un tuyau d’arrosage dont le débit est de 20 l / min. Combien de temps cela prendra-t-il ?

Attention : le rayon est 0,75 m ; 50 cm = 0,5 m.

Le volume total est : 3,14 x 0,75 x 0,75 x 0,5 = 0,883125 m3 soit 883,125 litres.

Je ne la remplis qu’aux 2/3. Il faut donc : 883,125 x 2 / 3 = 588,75 litres.

Il  faut donc : 588,75 / 20 = 29,4375 minutes soit 30 minutes pour remplir la piscine.

  • Exercice N° 3 :

Je dispose d’une pompe à eau pour mon aquarium dont le débit est de 20 l / h. Quel est le temps théoriquement nécessaire pour que la pompe ait filtré la totalité de l’eau si mon aquarium a les dimensions suivantes : Longueur : 1,2 m ; Profondeur : 45 cm ; Hauteur : 50 cm ?

Attention : 45 cm = 0,45 m ; 50 cm = 0,50 m.

Le volume de l’aquarium est : 1,2 x 0,45 x 0,50 = 0,27 m3 soit 270 litres.

Il faut donc : 270 / 20 = 13,5 heures soit 13 h 30 min.

EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

Je possède un tonneau cylindrique dont le diamètre est 70 cm. Hier, il était vide. Aujourd’hui, il a plu durant 6 heures et l’eau est tombée dans le tonneau à raison de 0,3 litres par minute. Quelle était, au cm par défaut, après l’averse, la hauteur d’eau dans le tonneau ?

  • Exercice N° 2 :

Il a fallu 120 min à ma pompe, dont le débit est de 3,5 m3 / heure pour aspirer l’eau de ma cave qui fait 5 m de long sur 4 m de large. Quelle était la hauteur d’eau dans celle-ci ?

CORRECTIONS

  • Exercice N° 1 :

Je possède un tonneau cylindrique dont le diamètre est 70 cm. Hier, il était vide. Aujourd’hui, il a plu durant 6 heures et l’eau est tombée dans le tonneau à raison de 0,3 litres par minute. Quelle était après l’averse la hauteur d’eau dans le tonneau ?

Attention : faites surtout attention aux unités.

6 heures = 360 minutes.

Il y a donc eu : 360 x 0,3 = 108 litres d’eau tombés dans le tonneau.

108 litres sont équivalents à 108 dm3.

 

Mettons dans ce cas le rayon du tonneau en dm : R = 3,5 dm

Le volume est donné par :

V = 3,14 x R x R x h 

Donc ici, le volume est 3,14 x 3,5 x 3,5 x h  soit 38,465 x h 

Le volume est de 108 dm3 donc la hauteur est : 108 / 38,465 = 2,807 dm soit 28 cm par défaut.

 

  • Exercice N° 2 :

Il a fallu 120 min à ma pompe, dont le débit est de 3,5 m3 / heure pour aspirer l’eau de ma cave qui fait 5 m de long sur 4 m de large. Quelle était la hauteur d’eau dans celle-ci ?

120 minutes = 2 heures 

En 120 minutes, on a donc vidé : 3,5 x 2 = 7 m3.

La superficie de la cave est de : 5 x 4 = 20 m2.

Le volume d’eau est donc : 20 x hauteur d’eau.

La hauteur d’eau est donc : 7 / 20 = 0,35 m soit 35 cm.

Il y avait « 35 cm d’eau » dans la cave.

 

EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

Un robinet remplit une baignoire de 300 litres à raison de 60 l / min. Un autre la vide à raison de

30 l / min.

  1. a) Combien de temps faut-il pour remplir la baignoire ?
  2. b) Combien de temps faut-il pour la vider une fois qu’elle est pleine ?
  3. c) La baignoire est vide. On ouvre les deux robinets. Combien de temps faut-il pour la remplir ?
  • Exercice N° 2 :

          La chasse d’eau de mes toilettes fuit à raison de 1 cl / min. Le prix du m3 d’eau est de 2,5 €. Combien cela m’a t-il coûté en une année (soit 365 jours) ?

CORRECTION DES EXERCICES

Aide à la résolution de l’exercice 1 (n’allez pas voir la correction tout de suite)

Les problèmes de robinet ont toujours fait peur dans les cours de mathématiques. Il suffit souvent d’un peu de logique et de réflexion pour les résoudre.

Prenons un exemple en parallèle de cet exercice :

J’ai besoin de 30 € pour m’acheter un double compact-disc.

          ——-> Une baignoire a une capacité de 300 litres.

Vous travaillez et vous gagnez 6 € par jour.

          ——->             Un robinet remplit la baignoire à raison de 60 litres par minute.

Afin de vous nourrir, vous dépensez 3 € par jour.

          ——->             Un autre robinet la vide à raison de 30 litres par minute.

Vous économisez le reste. (C’est à dire 6 – 3 = 3 euros)

          ——->             Là, c’est à vous de réfléchir …

Au bout de combien de jours aurez-vous économisé 30 € ? (Oui, oui, 10 jours)

          ——-> Combien de temps faut-il pour remplir la baignoire de 300 litres ?

 

  • Exercice N° 1 :

Un robinet remplit une baignoire de 300 litres à raison de 60 l / min. Un autre la vide à raison de 30 l / min.

  1. a) Combien de temps faut-il pour remplir la baignoire ?

Il faut 300 / 60 = 5 minutes.

  1. b) Combien de temps faut-il pour la vider une fois qu’elle est pleine ?

Il faut 300 / 30 = 10 minutes

 

  1. c) La baignoire est vide. On ouvre les deux robinets. Combien de temps faut-il pour la remplir ?

Chaque minute, elle se remplit de 60 litres, mais elle se vide de 30 litres.

Ce qui revient à dire que chaque minute, elle se remplit de 60 – 30 = 30 litres.

Tout se passe comme si on avait un seul robinet qui débiterait 30 litres par minutes.

Il faut donc ici 300 / 30 = 10 minutes pour remplir la baignoire si les deux robinets sont ouverts.

 

  • Exercice N° 2 :

          La chasse d’eau de mes toilettes fuit à raison de 1 cl / min. Le prix du m3 d’eau est de 2,5 €. Combien cela m’a t-il coûté en une année (soit 365 jours) ?

En une heure, on perd : 1 x 60 = 60 cl d’eau.

En une journée, on perd : 60 x 24 = 1 440 cl d’eau, soit 14,40 litres.

En un an, on perd : 14,40 x 365 = 5 256 litres d’eau soit 5,256 m3.

Cela coûte donc : 5,256 x 2,5 = 13,14 euros

 

EXERCICE

Une piscine a les dimensions suivantes : Longueur = 25 m ; largeur = 12 m ; Hauteur = 2,5m. Pour la remplir, je dispose de trois pompes :

          La première a un débit de 20 m3 / h ; La seconde a un débit de 25 m3 / h ; La troisième a un débit de 30m3 / h

1) Combien de temps faut-il pour la remplir si

  1. a) Seule la première pompe est branchée ?
  2. b) Seule la troisième pompe est branchée ?
  3. c) Les pompes 1 et 3 sont branchées ?
  4. d) Les pompes 1,2 et 3 sont branchées ?

2) La piscine est vide. Tout en la remplissant à l’aide des 3 pompes, je laisse un robinet d’évacuation ouvert qui laisse l’eau s’échapper à raison de 35 m3 par heure. En combien de temps la piscine sera-t-elle remplie ?

 

CORRECTION

Avant tout, il faut calculer le volume de la piscine :

V = 25 x 12 x 2,5 = 750 m3

1) Combien de temps faut-il pour la remplir si

  1. a) Seule la première pompe est branchée ?

Il faut : 750 / 20 = 37,5 heures soit 37 heures et 30 minutes.

  1. b) Seule la troisième pompe est branchée ?

Il faut : 750 / 30 = 25 heures.

  1. c) Les pompes 1 et 3 sont branchées ?

C’est comme si l’on avait une seule pompe qui débite 20+30 = 50 m3 / h

Il faut : 750 / 50 = 15 heures.

  1. d) Les pompes 1,2 et 3 sont branchées ?

C’est comme si l’on avait une seule pompe qui débite 20 +25 + 30 = 75 m3 / h

Il faut : 750 / 75 = 10 heures.

2) La piscine est vide. Tout en la remplissant à l’aide des 3 pompes, je laisse un robinet d’évacuation ouvert qui laisse l’eau s’échapper  à raison de 35 m3 par heure. En combien de temps la piscine sera-t-elle remplie ?

C’est comme si l’on avait une seule pompe qui débite 20 +25 + 30 – 35 = 40 m3 / h

Il faut : 750 / 40 = 18,75 heures soit 18 heures et 45 minutes.

EXERCICES

  • Exercice N° 1 :

Le robinet d’eau froide d’une baignoire remplit celle-ci en 6 minutes. Le robinet d’eau chaude le remplit en 10 minutes. Si on ouvre le robinet d’eau froide au tiers de ses possibilités et totalement le robinet d’eau chaude, combien de temps faut-il pour remplir la baignoire ?

  • Exercice N° 2 :

Le robinet d’eau froide d’une baignoire remplit celle-ci en 4 minutes. Le robinet d’eau chaude le remplit en 8 minutes. Si on ouvre le robinet d’eau froide au quart de ses possibilités et totalement le robinet d’eau chaude, combien de temps faut-il pour remplir la baignoire aux trois quarts ?

 

CORRECTION

  • Exercice N° 1 :

Le robinet d’eau froide d’une baignoire remplit celle-ci en 6 minutes. Le robinet d’eau chaude le remplit en 10 minutes. Si on ouvre le robinet d’eau froide au tiers de ses possibilités et totalement le robinet d’eau chaude, combien de temps faut-il pour remplir la baignoire ?

          Premièrement, si j’ouvre le robinet d’eau froide au 1/3, c’est qu’il lui faut 3 fois plus de temps pour remplir la baignoire (voir INVERSE d’UNE FRACTION).

          Il y a donc un robinet qui remplit la baignoire en 18 minutes ( 6 x 3 ) et un robinet qui la remplit en 10 minutes.

          Le problème qui se pose maintenant, c’est que l’on ne connaît ni le débit des robinets, ni la contenance de la baignoire. C’est tout simplement parce que cela n’a pas d’importance. Cependant, puisque l’on n’est pas habitué à manipuler ce type de données, on a énormément de difficultés à imaginer ce qui se passe dans la réalité.

Voici deux méthodes pour résoudre ce type d’exercice :

1ère méthode : Les fractions.

Le premier robinet remplit la baignoire en 18 minutes. Il remplit donc 1/18 de la baignoire en une minute.

Le second robinet remplit la baignoire en 10 minutes. Il remplit donc 1/10 de la baignoire en une minute.

A eux deux, ils remplissent :  (à vous) de la baignoire en une minute.

C’est à dire 28 cent quatre vingtièmes de la baignoire.

La baignoire sera remplie lorsque l’on aura rempli 180 cent quatre vingtièmes de celle-ci. La durée cherchée est donc l’inverse de 28/180 soit 180/28 = 6,428 minutes (soit 6 minutes et 26 secondes).

Vérification : 6,428 x 28 /180 = 1/1 fraction qui représente la totalité de la baignoire.

 

2 ème méthode : On « invente » le contenu de la baignoire.

Pour cela, la meilleure manière est de multiplier les durées :

                      on se dit que la baignoire a une capacité de 10 x 18 = 180 litres.

Le premier robinet remplit la baignoire soit 180 litres, en 18 minutes : son débit est de 180/18 = 10 l/min.

Le second robinet remplit la baignoire en 10 minutes : son débit est 180/10 = 18 l/min.

Les deux robinets ont donc un débit total de : 10 + 18 = 28 l/min.

Il faut donc : 180 / 28 = 6,428 min soit 6 minutes et 26 secondes pour remplir la baignoire.

 

Retournez maintenant à votre exercice, et, sans aide, refaites-le grâce à une des deux méthodes.

  • Exercice N° 2 :

Le robinet d’eau froide d’une baignoire remplit celle-ci en 4 minutes. Le robinet d’eau chaude le remplit en 8 minutes. Si on ouvre le robinet d’eau froide au quart de ses possibilités et totalement le robinet d’eau chaude, combien de temps faut-il pour remplir la baignoire aux trois quarts ?

On ouvre le robinet d’eau froide au quart, il lui faut donc 4 fois plus de temps pour remplir la baignoire soit 16 minutes.

On remplit la baignoire aux 3/4, donc : (à vous)

Le robinet d’eau froide a besoin de : 16 x 3 / 4 = 12 minutes.

Le robinet d’eau chaude a besoin de : 8 x 3 / 4 = 8 minutes.

8 x 12 = 96 : On considère que la baignoire a une capacité de 96 litres.

Le débit du robinet 1 est donc de : 96 / 12 = 8 litres par minute.

Le débit du robinet 2 est donc de : 96 /   8 = 12 litres par minute.

Le débit total est donc de : 20 litres par minute.

Il faut donc : 96 / 20 = 4,8 minutes soit 4 minutes et 48 secondes pour remplir la baignoire.

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