Les problèmes avec des fractions : une sorte de bête noire qui a fait croire à des générations d’élèves qu’ils sont “nuls en maths” (quelle expression !). Avec un peu de méthode, et surtout en les abordant différemment, vous allez voir qu’il n’en est rien. Je vous dis tout avec des exercices progressifs.
Attention, je ne prends pas ici la base des fractions, cette partie s’adresse aux personnes maîtrisant déjà les mots “numérateur”, “dénominateur”, et ayant des soucis avec la résolution de problèmes avec des énoncés contenant des fractions.
On y va ?
Ne fuyez pas devant l'exercice ci-dessous, faites-moi confiance, dans 15 minutes vous saurez le résoudre...
Je reviens dans 5 minutes.
On va procéder par étapes afin d’apprendre à résoudre ce type d’exercice.
On utilise la méthode qui suit dans la plupart des exercices contenant des fractions.
La bonne nouvelle c’est que vous ne l’avez jamais vue, donc oubliez tout ce que l’on vous a appris.
Remarquons aussi au passage, que si ça nous arrange, dans certains exercices, un pourcentage n’est rien d’autre qu’une fraction : 15% = 15/100…
Allons-y.
Le début va vous paraître évident (si si), c’est normal. Mais il faut maîtriser cette base.
Remarque préliminaire : Vous devez être capable pour cela d’effectuer des additions et des soustractions de fractions. Inutile ici de faire un cours là-dessus, c’est expliqué dans tous les livres de maths que vous pourrez trouver au fond de votre grenier. Mais de toute façon, n’importe quelle calculatrice scientifique actuelle digne de ce nom fait ça très bien. Sans faire de pub, la « casio collège » par exemple fait ça à merveille. Il suffit qu’elle ait une touche style « A b/c » ou quelque chose dans ce genre et le tour est joué. Bidouillez un peu (c’est mieux si vous avez la notice) et dès que vous aurez trouvé avec la calculatrice que 1/2 + 1/3 ça donne 5/6 sur l’écran, vous aurez compris le principe. Donc, pour résumer, il faut savoir effectuer ce type d’opération.
Voici ici l’exemple avec l’excellente calculatrice gratuite en ligne “Numworks” (un peu difficile à prendre en main, à cause de la navigation par touches fléchées, mais c’est le seul défaut que je lui trouve pour la plupart des utilisations).
Les exercices sont proposés en difficulté croissante : A partir du 6, on est sur un niveau de certains concours, donc ne vous formalisez pas. Si vous allez déjà jusque 5, vous voilà bien armé pour un très grand nombre de situations.
Exercice 1 : Une mairie accorde une subvention de 700 € qu’elle partage entre plusieurs associations. L’association A en reçoit les 2/5. Combien reçoit-elle ?
Au lieu de le résoudre à votre manière, on va le faire de la manière suivante :
On schématise « l’histoire » racontée par l’énoncé, grâce à des rectangles.
Pourquoi mettre une case « Autres associations » alors qu’on n’en parle pas dans l’énoncé ? Tout simplement parce que de manière fort logique, si A reçoit une partie, l’autre partie est reçue par quelqu’un d’autre, il n’y a pas de tour de magie. Quitte à être mise à la poubelle, mais dans ce cas on écrirait « poubelle ».
« il ne peut pas y avoir un seul rectangle qui tombe d’un autre rectangle ».
Donc quelqu’un qui lit notre schéma va comprendre une partie de l’histoire. Mais il ne sait pas dans quelles proportions est donnée la subvention. Chacun reçoit-il la même somme, 700 €, chacun en reçoit-il la moitié ? On ne sait pas. Pas grave, on va le savoir :
Pour calculer combien a reçu A, on suit les rectangles de branche en branche, en partant toujours d’une valeur connue contenue dans un rectangle et en suivant une branche dont on connaît la fraction. Lorsque l’on rencontre une fraction on multiplie la valeur connue par la première valeur de la fraction rencontrée (numérateur ou dénominateur) et on divise par la seconde rencontrée (dénominateur ou numérateur). C’est pas facile à expliquer comme ça, mais vous allez vite comprendre avec l’exemple :
Exercice 2 : Une mairie accorde une subvention à plusieurs associations. A en reçoit les 4/7 soit 500 €. Quelle est la subvention de départ ?
Schématisons l’histoire :
On va cette fois de « A » vers « Subvention ». La première valeur rencontrée est 7 (on multiplie), la seconde est 4 (on divise).
On fait donc 500×7/4 = 875 €. La subvention est de 875 €.
Vous avez compris ? Si oui, on continue. Si non, on relit.
Exercice 3 : Une mairie octroie une subvention de 1800 € qu’elle partage entre 2 associations A et B.
A reçoit les 4/9. Combien reçoit B ?
Schéma :
C’est ce que l’on appelle en maths compléter une fraction à l’unité.
Le schéma devient donc :
On peut maintenant aller de « Subvention » à « B ». On rencontre d’abord sur notre route la valeur 5 (on multiplie), puis la valeur 9 (on divise).
Donc B reçoit 1800×5/9 = 1000 €.
On peut maintenant commencer à s’amuser (si, si, vous allez voir) :
Exercice 4 : Une mairie octroie une subvention qu’elle partage entre 2 associations A et B. A en reçoit les 3/11. B reçoit le reste soit 900 €. Combien a reçu A ?
Schéma :
L’erreur à ne pas commettre : inventer une branche qui va de A vers B : ça ne ressemblerait plus à l’histoire. On est obligé de suivre le chemin « B » vers « Subvention » puis « Subvention » vers « A ». Si A a touché 3/11, c’est que B a touché 8/11.
Le schéma devient donc :
De « B » vers « subvention » : 900×11/8 = 1237,5 €
De « subvention » vers « A » : 1237,5×3/11 = 337,5 €
Ce qui donne :
Exercice 5 : Une mairie partage une subvention entre 3 associations, A, B et C. A en reçoit 2/9 ; B reçoit 3/7 ; C reçoit le reste soit 440 €. Combien reçoivent A et B ?
Schéma :
Problème : on n’a pas la fraction concernant la branche de « C ».
Donc C reçoit le reste de 41/63 soit 22/63 (il suffit de faire comme précédemment : ici : 63-41=22).
Exercice 6 : Une mairie octroie une subvention qu’elle partage entre 4 associations A, B, C, D. A reçoit 1/3 ; B reçoit 2/9 ; C reçoit 1/7 ; D reçoit le reste. D dépense 2/5 de sa subvention en achat de matériel et place le reste sur un compte, soit 350 €. Combien ont reçu A, B, C et D ?
Schéma :
– Pour aller de « Compte » vers « D » : C’est forcément 3/5, puisqu’il y a 2/5 pour le matériel.
– Pour aller de « D » vers « Subvention » : On additionne 1/3 + 2/9 + 1/7 = 44/63.
D a le reste soit (63 – 44)/63 = 19/63.
Exercice 7 : Une mairie accorde une subvention qu’elle partage entre 4 associations A, B, C, D. A reçoit 2/11 ; B reçoit 3/14 ; C reçoit les 2/3 de B ; D reçoit le reste, soit 1420 €. Combien ont reçu A, B et C ?
Ainsi, dire : 2/3 de B, signifie ici 2/3 de 3/14 c’est-à-dire 2/3 x 3/14 = 6/42. Ce petit truc va vous sauver dans pas mal de sujets. Retenez-le comme si c’était une formule !
A+B+C = 2/11 + 3/14 + 6/42 = 83/154. D reçoit (154-83)/154 = 71/154.
Schéma et résultats :
Exercice 8 : Une mairie partage une subvention entre 3 associations A, B, C. A reçoit 2/7. C reçoit 3/8. B reçoit le reste. A et B reçoivent au total 350 €. Combien A, B et C reçoivent-elles ?
Schéma :
A et C reçoivent 2/7 + 3/8 = 37/56. Donc B reçoit : (56-37)/56 = 19/56.
A et B reçoivent au total 350 €. Cela représente 2/7+19/56 soit 5/8. C’est comme si on avait :
On peut donc retrouver la subvention : 350×8/5 = 560 €.
Reprenons et finissons notre schéma de départ :
Exercice 9 : Une mairie accorde une subvention à 2 associations A et B. La première reçoit les 2/7 soit 600€ de moins que la seconde. Combien ont A et B ?
Schéma :
Cela signifie donc que les 600 € représentent 3/7 de la subvention.
C’est comme si l’on avait :
A vous maintenant : retrouvez la bonne réponse pour l’énoncé du début !
Et si vous avez besoin d’aide, n’hésitez pas à me contacter, ça fonctionne même à distance !
Fondateur de différents sites dont tableaunumerique.net, concours-atsem.fr, trouvix.fr ou encore laboiteaconcours.com Frédéric fait partie du collectif Profbook.fr.
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