Une brève histoire des Mathématiques

I - Début des Mathématiques

Il apparait que très tôt dans l’histoire, l’Homme s’est retrouvé limité dans l’utilisation de l’écriture pour faire face à ses problèmes du quotidien. Le commerce étant au cœur des premières civilisations, il était nécessaire de réussir à faire des calculs rapides et justes pour s’assurer de la bonne tenue de l’économie de l’époque. Pour cela, l’Homme a dû mettre en place une façon rigoureuse de compter et de représenter des grands nombres : c’est ce que l’on appelle un système de numération. Les premières traces d’utilisation de tablettes d’argile pour gérer ces calculs datent de l’an 2000 avant JC. Elles ont été découvertes dans les régions proches de la Mésopotamie. Nous savons aujourd’hui que les hommes peuplant cette région ont très vite développé leurs savoir-faire mathématiques : calculs avec des racines carrées, étude des équations de degré 2, …

Environ à la même époque, la civilisation Egyptienne était elle aussi occupée à utiliser les Mathématiques. Les premiers problèmes d’ordre géométrique firent leur apparition : calculs de surfaces, de volumes… pour gérer l’irrigation de leurs terres.

Il est évident que les Mathématiques sont depuis toujours universelles. Chinois, arabes, grecs… autant de civilisation qui ont développé des outils pour faciliter leurs échanges.

C’est durant le Moyen-âge que les Mathématiques ont connu un véritable essor. C’est de l’étude des équations que provient la première grande révolution : l’utilisation de nombres non entiers et non positifs. Nous pourrions facilement penser que c’est l’apparition des dettes (nombres négatifs) ou l’étude de problèmes géométriques (nombres rationnels ou irrationnels pour estimer une mesure) qui furent à l’origine de l’introduction de ces nouveaux nombres. En fait, ils sont le fruit d’un travail plus théorique sur la résolution d’équations. Nous pouvons citer l’œuvre considérable d’Al-Kwarizmi (son nom est à l’origine du mot « algorithme » !), mathématicien persan du 9^e siècle. Dans ses écrits, il définit 6 équations dites canoniques dont il propose la résolution. Ces équations ont ensuite été ramenées à des problèmes concrets : héritages, partages de terres, transactions commerciales…

Précisons aussi que le 0 aura été source de grands débats. Faut-il le considérer comme un nombre ? Pour comprendre cela, vous pouvez lire cet article (https://mathsetmat.fr/pourquoi-ne-peut-on-pas-diviser-par-0/) pour comprendre une de ses spécificités : on n’a pas le droit de diviser par 0 !

Cette étape marque le début d’un véritable tournant qui verra le jour au cours des 17^e et 18^e siècle. Les mathématiques sont désormais un outil puissant, destiné à servir la physique pour l’étude du monde qui nous entoure. Nous pouvons par exemple citer le calcul infinitésimal, introduit par Newton et Leibniz, qui révolutionnera l’étude de certaines équations physiques et sera le point de départ de tout un monde : dérivation, intégration, équations différentielles, …

A cette époque, les Mathématiques sont aussi intimement liées à la philosophie, portée par Galilée et Descartes. Le siècle suivant sera aussi riche, avec la contribution de l’un des plus grands Mathématiciens de tous les temps : Leonhard Euler. Ce dernier est à l’origine de résultats majeurs dans toutes les branches des Mathématiques. Nous avons aujourd’hui beaucoup de restes de son œuvre, comme les notations f et f(x) pour désigner les fonctions.

Comme nous le voyons, le développement des Mathématiques aura été un long travail de réflexion mené conjointement partout à travers le monde. Les besoins pratiques ont été le premier moteur de découvertes, avant que naissent les premières considérations théoriques.

LES MATHEMATIQUES MODERNES

Les Mathématiques sont aujourd’hui au cœur de notre monde, sans que nous nous en rendions compte. Des Mathématiciens brillants se sont succédé, laissant derrière eux des héritages intemporels : Lagrange, Cauchy, Gauss, Riemann…

Les Mathématiques peuvent aussi se retrouver dans des cas tout à fait inattendus, comme dans ce jeu où nous devons dessiner une maison avec un toit sans lever le stylo (voir par exemple : https://mathsetmat.fr/les-ponts-de-konigsberg-et-theorie-des-graphes/)

Les notions étudiées deviennent de plus en plus abstraites, les recherches de plus en plus pointues à tel point qu’il est presque impossible d’être un Mathématicien « généraliste ». De fait, diverses branches ont vu le jour, proposant des objets d’étude précis. Je vous en propose un petit tour d’horizon !

ALGEBRE

Commençons par l’algèbre qui est historiquement la plus importante. Il s’agit de l’étude des nombres, de leurs relations et des opérations que nous pouvons faire avec (de l’opération de nombres entiers à la conjugaison de nombres complexes). Les équations sont au cœur de l’algèbre et nourrissent encore aujourd’hui les recherches.

ANALYSE

Vient ensuite l’analyse, dont nous avons en fait déjà parlé. Il s’agit d’étudier les fonctions, leurs variations (le fameux calcul infinitésimal) et d’optimiser certaines données (un gain par exemple). Cette branche est largement nourrie par la modélisation de phénomènes physiques en tout genre !

Nous ne pouvons pas parler branches des Mathématiques sans parler géométrie : la plus connue de toutes ! Comme vous le savez, la géométrie est de façon générale l’étude des objets du plan ou de l’espace (triangle, cube…). Cependant, la géométrie peut aller beaucoup plus loin, et utiliser des notions d’algèbre et d’analyse pour étudier des choses bien plus complexes (de dimension infinie par exemple) !

PROBABILITES

Au cœur de nos vies remplies de nombres et d’informations, les probabilités (étude des phénomènes aléatoires) et les statistiques (interpréter toutes sortes de données) occupent une place centrale.

TOPOLOGIE

Plus mystérieuse, la topologie consiste à étudier la forme des objets lorsqu’on les transforme. Par exemple, prenez une tasse de café avec une anse. Il est possible de la déformer (sans la déchirer) afin de former une bouée (les 2 possédant un trou). En ce sens, ces 2 objets sont identiques pour un topologue !

LOGIQUE

Enfin, comment parler Mathématiques sans parler logique ? Nous avons tous une idée intuitive de ce qu’est la logique. Mais les mathématiciens se doivent bien de définir quelles sont les règles rigoureuses avec lesquelles ils s’autorisent à raisonner !

Cette petite liste donne une idée du monde mathématique actuel. Bien sûr, de nombreuses notions se retrouvent à mi-chemin entre plusieurs de ces branches : Mathématiques discrètes, théorie des nombres… Mais chaque branche possède ses spécificités, ses outils, ses forces.

Il est primordial de se rendre compte que les Mathématiques sont absolument partout et régissent l’étude de notre monde. Plus aucun domaine n’échappe à leur utilisation. Dans notre monde hyper connecté où l’informatique est le principal outil de travail, la cybersécurité est devenue un enjeu mondial majeur. Pour protéger nos communications, nos données en ligne… nous utilisons constamment des méthodes de chiffrement. C’est là tout le rôle de la cryptographie qui est la science du codage. Pour créer des protections optimales, les cryptographes ont peu à peu eu recours aux Mathématiques, notamment à l’algèbre.

Il est aisé de trouver des exemples d’utilisation moderne des Mathématiques : en biologie (pour étudier l’efficacité d’un médicament ou étudier une épidémie), en météorologie, pour l’étude des fréquences en musique, en finance…. Autant de raisons de considérer que les Mathématiques ne sont pas qu’une souffrance à supporter au collège, mais tout un monde de possibilités !

Il est aussi important de préciser que les Mathématiques ne sont pas figées. De nombreux problèmes (parfois simples à énoncer) sont aujourd’hui dépourvus de démonstration. Les mathématiciens ont pour but de faire avancer l’état actuel des connaissances, d’apporter des réponses à ces questions que ce soit par intérêt pratique ou simplement intellectuel. Le monde de la recherche est très actif, et porté par une école française au sommet de son art. Nous pouvons citer de récents grands mathématiciens français : Alain Connes, Alexander Grothendieck, Arthur Avila… Tous ont un point en commun : ils sont lauréats de la médaille Fields, la plus prestigieuse des distinctions mathématiques (l’équivalent d’un prix Nobel).

Pour illustrer ce dynamisme, l’institut Clay a récemment proposé une liste de 7 problèmes (dits du millénaire) pour lesquels nous sommes aujourd’hui sans réponse. La résolution de l’un d’entre eux offre le prix d’un million de dollars ! A ce jour, un seul de ces problèmes a été résolu (par le Russe Perelman, qui a refusé le million de dollars).

J’espère que vous commencez à le comprendre : les Mathématiques sont vivantes et pleines de surprises : il serait si dommage de n’en garder qu’un mauvais souvenir scolaire !

III – Mathématiques et scolarité

Tout au long de notre scolarité, les Mathématiques occupent une place de choix. Parfois adorées, souvent mal-aimées, leur apprentissage est pourtant central et complexe. Je vous en propose ici un tour d’horizon : du plus jeune âge jusqu’au monde de la recherche.

MATHEMATIQUES EN PRIMAIRE ET MATERNELLE

Tout d’abord, nos premières manipulations des Mathématiques se font dès le primaire. La première étape consiste à se faire une idée des cinq premiers nombres entiers, et à les associer à des quantités permettant de compter. Nous avons pour cela le meilleur des outils : la main et ses cinq doigts. Nous passons progressivement de l’unité à des assemblages plus complexes. Par la suite, nous construisons un système de numération plus perfectionné et sans limites : celui en base 10. Nous découpons les nombres par paquets : les puissances de 10 (les unités, dizaines, centaines, milliers…). Puis vient le temps de découvrir les 4 opérations fondamentales qui nous permettent de travailler avec ces nombres. Cette étape cruciale se fait grâce à la représentation (j’additionne des pommes…) des quantités. Elle intervient aussi avec la découverte de premiers objets géométriques simples : le triangle, le carré… Il est intéressant de comprendre que cette découverte se fait grâce à la manipulation : je trace un segment à l’aide de la règle, je mesure… Ces constructions faites à l’école primaire sont primordiales pour avoir des bases solides et être à l’aise avec les nombres et les objets géométriques.

MATHEMATIQUES AU COLLEGE

Les années collèges commencent par un approfondissement des notions du primaire. Pendant ces 4 années, nous découvrons aussi les premiers cadres rigoureux de travail. Les objets sont définis plus précisément : on distingue leur définition de leurs propriétés. Nous découvrons aussi nos premiers théorèmes (comment ne pas citer Thalès et Pythagore !). Apparait conjointement l’idée de démonstration, point crucial pour faire des Mathématiques. Pour cela, il est nécessaire d’approfondir les raisonnements, d’initier au concept d’hypothèse, de conclusion…

A la fin du collège, quelques outils forts sont présentés aux élèves comme les fonctions. Ces dernières sont présentées pour leur aspect pratique (la modélisation de problèmes) mais sont aussi étudiées de façon un peu plus théorique. Il est important de comprendre qu’au collège, tout est mis en œuvre pour faire des liens entre toutes les notions et d’essayer de donner du sens aux apprentissages. L’idée sous-jacente est de donner à chaque élève en fin de 3^e un bagage lui permettant de raisonner, d’être critique et de calculer face aux problèmes de la vie courante (pourcentage, proportionnalité…).

MATHEMATIQUES AU LYCEE

Au lycée, l’enseignement des Mathématiques devient plus approfondi. L’objectif principal est de présenter aux élèves une sorte de boite à outils du mathématicien, les équipant ainsi pour leurs potentielles études supérieures. Les premières véritables constructions rigoureuses sont faites : dérivation, intégration… Les théorèmes étudiés sont plus profonds et parfois plus abstraits. Toutes ces nouvelles connaissances permettent d’étudier des phénomènes appliqués, et permettent de consolider l’esprit critique des élèves.

MATHEMATIQUES DANS LE SUPERIEUR

Bien sûr, l’apprentissage des Mathématiques ne s’arrête pas là (il ne s’arrête en fait jamais). Les études supérieures peuvent faire intervenir des Mathématiques pour deux raisons bien distinctes. Tout d’abord, elles peuvent être un outil nécessaire (comme pour des études en économie, en finance, en informatique…). Leur étude est alors un peu plus superficielle, les cours se concentrant sur le nécessaire en occultant parfois une certaine rigueur. Mais il est possible de suivre des études purement mathématiques et se diriger vers la recherche. Dans ce cas, les notions étudiées sont toujours plus poussées, plus abstraites, et la rigueur devient le maitre mot.
Comme cité dans une partie précédente, il reste tant à découvrir des Mathématiques. Des problèmes d’apparence simples tiennent les Mathématiciens en échec et parfois depuis très longtemps, comme par exemple la conjecture de Syracuse. Elle consiste à choisir un nombre de départ (entier positif, n’importe lequel) et à suivre les étapes suivantes : si le nombre est pair, on le divise par 2. S’il est impair, on le multiplie par 3 et on lui ajoute 1. On répète le processus avec le nombre obtenu et ainsi de suite. Je vous laisse essayer et vous rendre compte d’un phénomène : vous allez finir par tomber sur 1, puis sur 4, 2, 1…. Cela termine par boucler, et à priori quel que soit le nombre choisi au départ ! La conjecture énonce que c’est bien le cas, mais personne n’est en mesure de le prouver ! Bien sûr, nous l’avons vérifié pour un très grand nombre de valeurs de départ grâce à des ordinateurs. Mais ceci ne vaut pas preuve : il existe peut-être, quelque part, un nombre qui déroge à la règle…

Vous pouvez penser que résoudre ce genre de problèmes n’apporterait pas grand-chose… Mais détrompez-vous : chaque découverte en Mathématiques est la prémisse d’une réaction en chaine, et finit par avoir des répercussions sur d’autres problèmes plus « concrets » !

Les Mathématiques sont depuis toujours le terrain privilégié pour étudier et apporter des solutions aux problèmes de la vie courante. Progressivement, elles se sont développées partout autour du globe grâce à leur caractère universel. De nos jours, elles sont au cœur de nos vies, prenant place dans tous les domaines d’étude et étant nécessaires au développement de nouvelles technologies. Leur apprentissage est complexe, difficile et rebute beaucoup d’élèves, leur laissant un goût amer. Pourtant, elles sont aussi belles que riches et peuvent capter l’attention de chacun si l’on s’intéresse à leur côté ludique et pratique !