Par définition, c’est le contraire du développement : on remet tout dans des sachets.
Il y a 3 consignes à respecter :
- On doit faire le maximum de sachets.
- Les sachets doivent tous contenir la même chose.
- Tout doit être utilisé.
Allons-y progressivement :
- Vous avez 2 tomates et 2 melons (ça marche aussi avec d’autres ingrédients).
Rappel : Vous devez faire un maximum de sachets, contenant chacun exactement la même chose en utilisant tous les ingrédients.
- 1 sachet de 2 tomates et 1 sachet de 2 melons ? : non, car chaque sachet ne contient pas la même chose.
- 1 sachet de 2 tomates et 2 melons ? : non, car vous pouvez faire plus de sachets…
- 2 sachets de 1 tomate et 1 melon ? : oui, vous ne pouvez pas faire mieux.
Donc :
2 tomates et 2 melons se mettent dans deux sachets de 1 tomate et 1 melon.
Traduction pseudo-mathématique :
- 2 tomates + 2 melons = 2 fois 1 tomate + 1 melon
Traduction mathématique :
- 2 T + 2 M = 2 ( 1 T + 1 M)
Essayons maintenant avec :
- 4 tomates, 6 melons et 10 cerises :
Il y a un 2 qui s’est caché, regardez bien :
2*2 tomates, 2*3 melons, 2*5 cerises…
Je vais faire 2 sachets contenant chacun 2 tomates, 3 melons, 5 cerises. Essayez en manipulant les ingrédients (au prix des fruits et légumes, essayez avec des carrés de sucre des pâtes et du riz. Pour vos sachets, prenez des verres. J’ai l’air de faire le clown, mais non, c’est sérieux. C’est en manipulant avec vos petites mains que vous allez comprendre facilement).
En résumé :
4 Tomates + 6 Melons + 10 Cerises = 2 sachets de 2 Tomates + 3 Melons + 5 cerises
4 T + 6 M + 10 C = 2 ( 2T + 3M + 5C)
4T + 6M + 10C = 2 (2T + 3M + 5C)
Allez, un peu de cuisine :
- 45 Tomates, 30 Pommes de terre, 60 0ignons, 150 Carottes.
Et réfléchissez avant de tourner lire ci-dessous …
Il y a plusieurs possibilités…
3 nombres se cachent :
3, 5 et 15 (car 3 * 5 = 15).
Si vous voyez 3 (vous ne faites que 3 sachets, mais c’est déjà un début) :
45 Tomates, 30 Pommes de terre, 60 0ignons, 150 Carottes
3 * 15 tomates, 3 * 10 Pommes de terre, 3 * 20 oignons, 3 * 50 Carottes
45 T + 30 P + 60 O + 150 C =
3 ( 15 T + 10 P + 20 O + 50 C)
(J’aurais dû choisir autre chose que des oignons, car je n’arrête pas de confondre les O et les 0, c’est galère).
Si vous voyez 5 (c’est mieux, vous faites plus de sachets) :
45 T + 30 P + 60 O + 150 C =
5 ( 15T + 6P + 12 O + 30C)
Si vous voyez 15, c’est tout bon :
45 T + 30 P + 60 O + 150 C =
15 (3T + 2P + 4 O + 10 C)
Un peu plus abstrait maintenant, concentrez-vous : on va mélanger des noms et des couleurs.
- 3 Tomates Rouges et 5 Tomates Vertes.
On va chercher le caractère commun. C’est lui qui va représenter notre nombre de sachets (dans la pratique le résultat trouvé ne signifie cette fois plus rien).
Une bonne manière de faire, c’est de souligner le caractère commun que l’on trouve. Tout ce qui n’est pas souligné rentre ensuite dans les sachets. Vous allez comprendre, regardez-bien :
3 Tomates Rouges et 5 Tomates Vertes
Sans avoir fait beaucoup d’études, on s’aperçoit que le mot Tomates est commun aux deux quantités. On le souligne :
3 Tomates Rouges et 5 Tomates Vertes
Cela devient :
Tomates (3 Rouges + 2 Vertes).
Mathématiquement cela donne :
3TR + 5TV = T (3R + 5V)
Amusant non ?
Avec des tartes maintenant :
6 Tartes aux Fraises + 8 Tartes aux Pommes
En appliquant la même chose je trouve :
2T (3F + 4P)…
Si si réfléchissez avant de continuer…
Ben oui, il y a deux caractères communs cachés :
6 Tartes aux Fraises + 8 Tartes aux Pommes
= 3 * 2 Tartes aux Fraises + 4 * 2 Tartes aux Pommes
= 2 Tartes ( 3 Fraises + 4 Pommes) (n’oubliez pas de mettre entre parenthèses
ce que vous n’avez pas souligné)
Mathématiquement cela donne :
6TF + 8TP = 2T (3F + 4P)
- Petit « truc » à savoir : le « 1 » fantôme…
(Si vous avez lu d’autres pages sur profbook, vous avez dû lire par-ci par-là que le nombre « 1 » avait une tendance sadique à se cacher un peu n’importe où).
2x + 2
Un 1 se cache quelque part. Mais où ? Toujours où ça nous arrange (c’est la seule bonne nouvelle) :
2x + 2 = 2x + 2*1 = 2 (x + 1)
Encore un 1 qui s’est caché ci-dessous :
X2 – X = X2 – X * 1 =
X * X – X * 1 =
X ( X – 1)
EXERCICES
C’est à vous, uniquement avec des lettres maintenant… Ca va en difficulté croissante (ou presque), chaque résultat est détaillé à la suite. Prenez votre temps, ne passez au suivant que lorsque vous avez bon ou compris…
N’oubliez pas le « 1 » fantôme et que (2x+1)2 = (2x+1) (2x+1)…
A = 3 x2 + 5 x
B = 3 x2 + x
C = 30 x – 30
D = 200 + 200 x
E = 100 + 200 x
F = x2 – x
G = 8x + 10 x2
H = (2x + 1)2 + (x + 2) (2x+1)
I = (x-1) – 4 (x-1)2
J = 3(4x+1)2 + 6(4x+1)(x-2)
K = 3 (x+5) – 2 (1-3x) (x+5)
L = (x+1)2 – 3 (x+1) (x-5)
M = x+2 + 2(x+2)(x-3)
N = 6x+12 + 7 (x+2) (2x +12)
CORRECTION DES EXERCICES
A = 3 x2 + 5 x = 3 * x * x + 5 * x = x (3x + 5) |
B = 3x2 + x = 3 * x * x + x * 1 = x (3x +1) |
C = 30 x – 30 = 30 * x – 30 * 1 = 30 (x-1) |
D = 200 + 200 x = 200 * 1 + 200 * x = 200 (1+x) |
E = 100 + 200 x = 100 * 1 + 100 * 2x = 100 (1+2x) |
F = x2 – x = x * x – x * 1 = x (x-1) |
G = 8x + 10 x2 = 2x * 4 + 2x * 5x = 2x (4+5x) |
H = (2x + 1)2 + (x + 2) (2x+1) = (2x+1) (2x+1) + (x+2) (2x+1) = (2x+1) [(2x+1)+(x+2)] = (2x+1) (2x+1 + x + 2) = (2x+1) (3x+3*1) (On peut factoriser 3x+3…) = 3 (2x+1) (x+1) |
I = (x-1) – 4 (x-1)2 = (x-1)*1 – 4(x-1)*(x-1) = (x-1) (1-4) = (x-1) * (-3) = -3 (x-1) |
J = 3(4x+1)2 + 6(4x+1)(x-2) = 3 (4x+1)(4x+1) + 6(4x+1)(x-2) = (4x+1) [ 3(4x+1) + 6(x-2) ] = (4x+1) (12x +3 +6x – 12) = (4x+1) (18x – 9) = (4x+1) (9*2x – 9*1) = (4x+1) * 9 * (2x – 1) = 9 (4x+1) (2x-1) |
K = 3 (x+5) – 2 (1-3x) (x+5) = (x+5) [ 3 – 2(1-3x) ] = (x+5) (3 – 2 + 6x) = (x+5) (6x+1) |
L = (x+1)2 – 3 (x+1) (x-5) = (x+1)*(x+1) – 3 (x+1)(x-5) = (x+1) [(x+1)-3(x-5)] = (x+1) [x+1-3x+15] = (x+1) (-2x +16 ) = (x+1) (-2*x + 2*8) = (x+1) * 2 * (-x +8) = 2 (x+1) (-x+8) |
M = x+2 + 2(x+2)(x-3) = (x+2) *1 + 2 (x+2)(x-3) = (x+2) (1 + 2(x-3)) = (x+2) (1 +2x – 6) = (x+2) (2x – 5) |
N = 6x+12 + 7 (x+2) (2x +12) = 6 (x+2) + 7 (x+2) (2x+12) = (x+2) [6 + 7(2x+12)] = (x+2) (14x +84) = (x+2) * 14 * (x + 6) (Si si : 14 = 14 * 1 et 84 = 14 * 6) = 14 (x+2) (x+6) |
